顶点代数是一种有些神秘的代数结构. 其基本思想来自物理学中的共形场论, 它们同时也与数学的各个领域有着深刻的联系.

我在撰写本科毕业论文时第一次接触顶点代数. 那时, 我感觉它们相当令人困惑. 它们的定义很技术化, 而我查阅的所有标准参考文献, 包括 [Frenkel, Ben-Zvi 2004] 和 [Kac 1998] (还声称 ｢写给初学者｣!), 都没有在直观上提供太大帮助.

现在, 与这些奇怪的代数打交道一段时间后, 我大概能更好地理解它们了. 但我仍然很惊讶, 它们背后的简单直观想法, 这些是专家们熟知的, 但却十分不容易在文献中找到. 我怀疑这些想法可能根本没有以明确形式写下来过.

因此, 我决定写下这篇笔记来解释这些想法. 我希望这能对其他正在学习顶点代数的人有所帮助, 尤其是那些像我几年前一样感到困惑的人.

目录

想法§

简而言之, 顶点代数是一种二维代数结构.

我们将通常的结合代数看作是一种一维结构, 也就是定义在一条直线 $\mathbb{R}$ 上的结构, 即给定直线上的几个点, 如果我们在每个点上放一个代数的元素, 就能按照直线给出的顺序将它们相乘. 我们可以移动这些点, 只要这些点不改变顺序, 相应的乘积就不会改变. 如下图左侧所示.

顶点代数示意图

而在顶点代数中, 元素是在复平面上相乘的. 也就是说, 给定几个点 $z_1, \dotsc, z_n \in \mathbb{C}$, 如果我们在每个点 $z_i$ 上放一个元素 $a_i$, 就能得到乘积 $a_1 (z_1) \cdots a_n (z_n)$.

顶点代数的一个主要特征是, 乘积 $a_1 (z_1) \cdots a_n (z_n)$ 亚纯地依赖于各个变量 $z_i$. 并且, 该乘积只有在 $z_i = z_j$ 时才能有极点, 其中 $i \neq j$, 即只有两点相撞时, 乘积才可能有极点.

与小圆盘算畴的联系

如果你听说过小圆盘算畴 $\mathbb{E}_n$ (nLab), 你可能会觉察到顶点代数与 $\mathbb{E}_2$-代数之间的相似性. 其主要区别就在于上述的亚纯性. 在 $\mathbb{E}_2$-代数中, 乘积连续地依赖于点的位置, 并且, 例如当一个点绕另一个点转动一周时, 这能探测到该代数的高阶同伦结构. 顶点代数并不关心同伦结构 (向量空间是可缩的), 但从中可以提取导数或者留数等额外信息, 这来源于其亚纯性.

此关系可以用分解代数 (nLab) 的理论来更精确地描述, 它在某种意义上同时推广了上述两种代数.

另可参见此 MathOverflow 问题.

新定义§

以下是顶点代数的一个新定义. 我认为这比标准定义更有启发性, 我们稍后再来讨论后者.

定义

顶点代数是:

  • 向量空间 $V$,

  • 带有单位元 $1 \in V$,

  • 以及一族乘法操作

    $$ \begin{aligned} V^{\otimes n} & \longrightarrow V [[z_1, \dotsc, z_n]] \, [(z_i - z_j)^{-1}] \ , \\[.5em] a_1 \otimes \cdots \otimes a_n & \longmapsto a_1 (z_1) \cdots a_n (z_n) \ , \end{aligned} $$

    其中 $0$ 元乘法给出单位元 $1$,

满足以下性质:

  • 交换律: 乘积 $a_1 (z_1) \cdots a_n (z_n)$ 不依赖于因子的顺序. 例如, $a (z) \cdot b (w) = b (w) \cdot a (z)$.

  • 结合律: 这包括一系列公理, 例如

    $$ \begin{aligned} & \bigl[ a_1 (z_1) \cdot a_2 (z_2) \bigr] (z) \cdot \bigl[ b_1 (w_1) \cdot b_2 (w_2) \bigr] (w) \\[.5em] & \qquad = a_1 (z_1 + z) \cdot a_2 (z_2 + z) \cdot b_1 (w_1 + w) \cdot b_2 (w_2 + w) \ , \end{aligned} $$

    其中我们按照 $|z_i|, |w_i| \ll |z|, |w|$ 来展开右侧的幂级数. 这是对两组两个元素的情况, 对于任意数量的任意大小的组都有类似的公理. 括号中的变量遵循以下规则: 当等号左侧的两个变量叠在一起时, 我们在等号右侧把它们加起来.

这个结合律看起来可能很复杂, 但实际上它就是普通的乘法结合律, 只是加入了一堆 $z$ 和 $w$ 变量.

这种更直接的定义在 [Borcherds 1998] 中有所暗示, 但没有完全阐明. [Kim 2011] 对此进行了更严格的论证, 但奇怪的是, 他没有用顶点代数的语言来表述其结果. 我是从 Dominic Joyce 的一篇未发表的论文中学到这一点的. 截至本文撰写时, 我还不知道任何严格提及此定义的文献.

注记

从技术上看, 也许可以说这比传统定义更复杂, 因为结合律包括无穷多个公理. 然而, 这并不是本文的重点, 重点在于让定义更直观, 而新的定义看起来更像普通代数的定义.

另外, 基于上述定义, 我们可能会期望顶点代数是某个范畴中的交换代数对象. 事实上, 这几乎是正确的, 但这里的范畴中不是所有态射都能复合. 这一点在 [Borcherds 1998: Example 6.6] 中有所解释.

场与平移§

仔细观察上述定义, 我们可以提取一些有用的信息. 这里, 我将重点解释结论, 而略去细节.

首先, 由于定义了 $1$ 元乘法, 这意味着每个元素 $a \in V$ 都自带一个幂级数 $a (z) \in V [[z]]$, 有的人可能称之为 $a$ 对应的场 (而另一些人则不会!). 其于 $z = 0$ 处的值就是该元素本身, $a (0) = a$.

从而, 我们可以对场 $a (z)$ 关于 $z$ 求导, 这定义了幂级数 $\partial_z a (z) \in V [[z]]$. 我们将 $z = 0$ 处的导数记为

$$ T a = \partial_z a (z) \, \bigr|_{z = 0} \in V \ . $$

我们也有 $(T a) (z) = \partial_z a (z)$, 这说明将 $\partial_z a (z)$ 也称为场是合理的. 类似地, 也可以对 $a (z)$ 求高阶导数.

上述算子 $T \colon V \to V$ 称为平移算子, 但我觉得这个名字有些误导, 应该称之为求导算子之类. 事实上, 真正的平移算子应该是

$$ \exp (z T) = \sum_{n = 0}^\infty \frac{z^n}{n!} T^n \colon V \longrightarrow V [[z]] \ . $$

让我来详细解释一点. 我们有恒等式 $\exp (z \partial_z) \, a (w) = a (z + w)$, 这是完全形式的结论, 并不涉及任何顶点代数的性质. 这意味着

$$ \exp (z T) \, a (w) = a (z + w) \ , $$

这才是称之为平移算子的真正原因. 特别地, 取 $w = 0$ 得到

$$ a (z) = \exp (z T) \, a \ , $$

这可以看作场 $a (z)$ 的另一种定义, 也会对接下来理解顶点代数的传统定义有所帮助.

传统定义§

现在, 我们来解释顶点代数的标准定义如何与新定义相吻合. 其标准定义在不同文献中略有不同, 但都类似于以下定义, 取自 [Frenkel, Ben-Zvi 2004].

定义

顶点代数是:

  • 向量空间 $V$,

  • 带有单位元 $1 \in V$,

  • 以及算子 $T \colon V \to V$, 称为平移算子,

  • 以及乘法操作

    $$ \begin{aligned} V \otimes V & \longrightarrow V [[z]] [z^{-1}] \ , \\[.5em] a \otimes b & \longmapsto Y (a, z) \, b \ , \end{aligned} $$

满足以下性质:

  • 单位律: $Y (1, z) = \operatorname{id}_V$, 并且 $Y (a, z) \, 1 \in a + z V [[z]]$.

  • 平移: 交换子 $[T, Y (a, z)] = \partial_z Y (a, z)$, 并且 $T (1) = 0$.

  • 定域性: 对任意 $a, b \in V$, 存在 $n > 0$ 使得 $(z - w)^n \cdot [Y (a, z), Y (b, w)] = 0$.

要从新定义中得到这个标准定义, 平移算子 $T$ 就如之前一样, 而乘法操作 $Y (a, z) \, b$ 定义为

$$ Y (a, z) \, b = a (z) \cdot b (0) \ . $$

乘积 $Y (a, z) \, 1 \in V [[z]]$ 就是之前的 $a (z)$. 更一般地, 之前的乘积 $a_1 (z_1) \cdots a_n (z_n)$ 就是现在的 $Y (a_1, z_1) \cdots Y (a_n, z_n) \, 1$. 更准确地说, 在之前的乘积中将 $(z_i - z_j)^{-1}$ 按照 $|z_j| \ll |z_i|$ 展开为幂级数, 其中 $i < j$, 就得到现在的乘积.

这里的平移公理只是换一种方式来说明 $T$ 是求导算子.

最后, 定域性公理可能看起来很奇怪. 但事实上, 在我们之前介绍的新定义中, 这只是在说 $a (z) \cdot b (w) = b (w) \cdot a (z)$, 只是用了更复杂的方式来表述, 因为在传统定义中, 我们必须选择一个顺序来展开幂级数: 在乘积 $Y (a, z) \, Y (b, w) \, c$ 和 $Y (b, w) \, Y (a, z) \, c$ 中, 前者是按照 $|w| \ll |z|$ 展开的, 而后者是按照 $|z| \ll |w|$ 展开的, 因此它们可能不相等, 尽管它们都是同一个表达式的展开. 例如, 我们可能会遇到类似下面的情况:

$$ \sum_{n = 0}^\infty \frac{w^n}{z^{n + 1}} \sim \frac{1}{z - w} = -\frac{1}{w - z} \sim -\sum_{n = 0}^\infty \frac{z^n}{w^{n + 1}} \ , $$

其中最左和最右的项给出了同一个表达式的不同展开. 然而, 乘以 $(z - w)$ 后, 两边都变成了 $1$. 一般来说, 我们可能需要乘以更高次幂 $(z - w)^n$ 来使它们相等, 但这总是可能的, 我们需要的幂次 $n$ 就是原来的表达式在 $z = w$ 处的极点阶数.

一个例子§

从我的经历来看, 前面介绍的新定义不仅有助于直观, 在实际工作中也更常常更容易处理.

举个例子, 有一个关于顶点代数的性质, 有时称为反对称性 (例如在 [Frenkel, Ben-Zvi 2004: Proposition 3.2.5] 中). 它指的是下面的恒等式:

$$ Y (a, z) \, b = \exp (z T) \, Y (b, -z) \, a \ . $$

在我学到新定义之前, 我觉得这个公式难以理解, 但从新的角度看, 这只是下面的恒等式:

$$ a (z) \cdot b (0) = b (0) \cdot a (z) = \bigl( b (-z) \cdot a (0) \bigr) (z) \ , $$

这里, 我们回忆根据结合律, 当变量叠在一起时, 我们把它们相加, 这就是我们在最后一步中所做的. 类似这样的论述帮助我在我自己的工作中简化了不少思考过程.

参考文献§

  • Borcherds, R. E. (1998). Vertex algebras.
    Topological field theory, primitive forms and related topics, 35–77. Birkhäuser.
    (zbMATH) (arXiv)

  • Frenkel, E., and Ben-Zvi, D. (2004). Vertex algebras and algebraic curves, 2nd ed.
    Mathematical Surveys and Monographs 88. American Mathematical Society.
    (doi) (zbMATH)

  • Kac, V. (1998). Vertex algebras for beginners, 2nd ed.
    University Lecture Series 10. American Mathematical Society.
    (doi) (zbMATH)

  • Kim, N. (2011). Associativity of field algebras.
    Annales Henri Poincaré 12 (6), 1145–1168.
    (doi) (zbMATH)

另见: