这是两个有趣的甜甜圈问题.
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问题 A§
这里有两个甜甜圈, 其中一个长着嘴巴.
图 1 两个甜甜圈假设甜甜圈是用弹性膜做的, 并且可以任意伸缩, 但不能撕裂. 那么, 长着嘴的甜甜圈可以把另一个甜甜圈吃掉.
图 2 张开嘴最后, 小甜甜圈完全被大甜甜圈吞入体内.
图 3 吃掉甜甜圈那么, 如果一开始时, 两个甜甜圈是套在一起的, 就像这样:
图 4 两个甜甜圈那么, 长着嘴的甜甜圈仍然能吃掉另一个甜甜圈吗?
问题 B§
甜甜圈不仅可以是正常的形状, 还可以和自己打结.
图 5 打结的甜甜圈不仅如此, 甜甜圈中间的洞也可以打结.
图 6 打结的玻璃甜甜圈这个图看起来像一个玻璃罐子, 但它的本质也是一个甜甜圈.
当然, 用玻璃的原因是显而易见的: 为了看到中间的洞. 不过读者需要想象, 这种玻璃可以任意伸缩, 就像弹性膜一样.
拓扑学家知道, 上面说的两种结都是无法解开的, 除非把甜甜圈撕开, 或者把玻璃打碎.
现在, 有一个有两个洞的甜甜圈.
图 7 有两个洞的玻璃甜甜圈它内部的两个洞可以打一个结, 拴起来.
图 8 打结的玻璃甜甜圈那么, 这个结可以解开吗?
答案 A§
甜甜圈能否吃掉套在自己身上的甜甜圈?
这看上去是没法做到的. 我们甚至能写出一个 ｢证明｣: 考虑两个甜甜圈上的两个圆圈 (蓝色).
图 9 甜甜圈上的圆圈在弹性变换的过程中, 这两个圈总是在两个甜甜圈的表面上, 并且总是套在一起, 无法解开. 然而, 如果一个甜甜圈吃掉了另一个, 那么这两个圆圈就被解开了.
这样解开的过程是不可能发生的. 因此, 我们就 ｢证明｣ 了甜甜圈无法被吃掉.
这个证明看似很有道理, 但无论如何, 甜甜圈确实可以被吃掉. 只需按下面的步骤做.
首先, 把嘴张大, 做出一副夸张的表情.
图 10 张开嘴然后, 把嘴变宽. 这时, 甜甜圈实际上只剩下两根带子.
图 11 把嘴变宽现在, 就可以慢慢合上张开的嘴了.
图 12 合上嘴最后, 可怜的小甜甜圈就被吞入了大甜甜圈体内.
图 13 吃掉甜甜圈那么, 之前的 ｢证明｣ 错误在哪呢? 我们发现, 在整个过程中, 两个蓝色圆圈始终没有解开. 我们之前想当然地以为, 吃掉甜甜圈后两个圆圈一定会解开, 但这是不一定的.
另外, 我们注意到, 在这个过程中, 大的甜甜圈经历了内外翻转, 它以前的内侧变成了现在的外侧.
那么, 如果要求大甜甜圈不能内外翻转呢? 那么, 答案就会变成否定的. 学过拓扑学的读者可以尝试证明这个结论:
习题
答案 B§
打结的玻璃甜甜圈可以解开吗?
图 8′ 打结的玻璃甜甜圈如果没有左边的那个竖直的洞, 那么答案是不能. 但增加这个洞之后, 这个结就能解开了.
第一步, 把打结的那个洞的底端移动到左边的洞壁上.
图 14 第一步下面, 接着将这个端点移动到罐子的顶面, 再移到侧面.
图 15 第二步接下来, 把这个端点沿着罐子的侧面, 从背后绕一圈.
图 16 第三步这样, 结就解开了. 多神奇!
图 7′ 解开结这个解法是 [Bing 1966] 给出的. 他用这个例子来说明, 即使是三维空间中熟悉的形状, 它的性质也可能与我们的直觉相差甚远.
参考文献§
问题 A:
- Gardner, M. (1997).
Pool-ball triangles and other problems.
Penrose tiles to trapdoor ciphers, revised edition, 119–136. Mathematical Association of America.
问题 B: